Investigation of The Limiting Behavior of The Sequence of Density Ratios in A Family of Non-Central t-Distribution

Abstract

Abstract. Let X₁, X₂, "..be a sequence of noncentral t-distributed random variables with parameter θ. In thispaperwe investigate the limiting behavior of density ratios of X₀. This is an example of the family of distributions discussed in [4].Here, we derive the results of David andKurskall[2] in a slightly more general form and a stronger result is obtained, namely: If θ₁< θ₂are two parameters and R_n(θ₁,θ₂) is the density ratio of X_n, then there isθ₀such that the limit of R_nis 0 with respectto θ<θ₀and is ?with respectto θ>θ₀. With respect to θ=θ₀, the limit infimum is 0 and the limit supermum is ?. It is also shown that θ₀is between 0 and (θ₁+θ₂).

Ichtisar. Misalnja X₁, X₂ " adalah barisan variabel random jang mempunjai distribusi t jang nonsentral dengan parameter θ. Maksud dari karangan ini adalah menjelidiki sifat² limit rasio fungsi kepadatan dari X_n tersebut. Hal ini merupakan tjontoh dari matjamnja family distribusi jang dibitjarakan dalam karangan [4]. Djuga karangan ini merupakan pembitjaraan lebih landjut dari [2], dimana David & Kruskal membuktikan bahwa sequential probability ratio test dari distribusi t akan berhenti dengan kemungkinan satu. Sifat limit dari tjontoh famili distribusi disini lebih kuat dari di [4], dan dapat diterangkan sbb. : Misalkan θ₁ < θ₂ adalah dua parameter dan R_n (θ₁, θ₂) adalah rasionkepadatan X_n dari θ₂ dan θ₁. Maka terdapat θ₀ sehingga limit dari R_n sama dengan 0 terhadap θ < θ₀ dan sama dengan ? terhadap θ > θ₀. Sedang terhadap θ₀ limit infimumnja sama dengan 0 dan limit supremumnja adalah ?. Letak θ ini diantara 0 dan 1/2 (θ₁ + θ₂), sehingga hal jang terachir ini akan menghilangkan sangkaan orang mengenai letak simetrinja θ₀ diantara 0₁ dan 0₂.