The Laplace Transform of Vector-Valued Functions
Abstract
Teori klasik dari transformasi Laplace-Stieltjies, telah diperluas oleh E.Hille l4l untuk fungsi-fungsi pada [0,?] ke dalam ruang Banach X jang mempunjai sifat bahwa setiap bilangan positip R, dengan supermum yang diambil terhadap semua koleksi-koleksi hingga {[rj, tj]}j=1 dari sub-interval2lepas dari [0,R]. Setelah itu S.Zaidman (8) menyelediki hal jang serupa untuk fungsi-fungsiαjang bersifat kumpulan2variasinya V ([0,R],α) jaitu koleksi semua elemen dari X jang berbentuk, merupakan sub kumpulan jang kompak di X.
Karangan ini membitjarakan kemungkinan untuk membangun teori transformasi Laplace-Stieltjes untuk fungsi2jang sifat2nja lebih umum daripadafungsi2jang dipeladjari oleh Hille dan Zaidman. Ternjata bahwa banjak hukum2jang berlaku untuk transformasi fungsi dengan harga scalar berlaku djuga di sini.
Perhitungan absis konvergensic(α)dapat dikerdjakan serupa dengan perhitungan untuk fungsi2berharga scalar (lihat [6]), dan begitu pula dengan hukum2yang berhubungan dengan analistas berlaku di sini.
Suatu hal yang menarik ialah bahwa rumus inversi, dengan a > max [0,c(α)]tidak berlaku tanpa sjarat tambahan jang harus dipenuhi oleh fungsiα,
Demikian Hille telah membuktikan bahwa rumus inversi di atas berlaku bilaαmempunjai variasijang terbatas absolute pada setiap interval jang hingga, sedangkan Zaidman mempergunakan sjarat tambahan bahwa pada variasiαpada setiap interval hingga adalah kompak.
Ternjata bahwa kedua sjarat di atas dapat diperlunak mendjadi sjarat bahwa variasiαpada setiap interval jang hingga harus kompak dalam topologi lemah dari X.Lagipula, rumus inverse akan berlaku tanpa syarat untukα, asal ruang X adalah lengkap-lemah, chususnya bila X refleksif. Hasil ini kami dasarkan atas karya Bartle, Dunford, dan Schwartz.
References
Bartle, R.G., Dunford, N., Schwartz. J. T., Weak compactness and vector measures, Canadian J. Math. 7, 289-305 (1955)
Dunford, N., and Schwartz, J. T., Linear operators. Vol. I Interscience, New York, 1958.
Edwards, D. A., On the continuity properties of functions satisfying a condition of Sirvint's, Quart. J. Math. (Oxford) (2) 8, 58-67 (1957)
Hille. E., and Philips, R. S., Functional analysis and semi-groups, Amer. Math. Soc. Pub. vol. 31, Revised Ed., 1957.
Kendall, D. G., and Moyal, J. E,. On the continuity properties of vectorvalued fuctions of bounded variation. Quart. J. Math. (Oxford) (2) 8, 54-57 (1957).
Widder, D., V., The Laplace transform, Princeton Univ. Press, Princeton 1946.
Zaidman, S., La representation des functions vectorielles par des integrals de Laplace-Stieltjes, Annals of Math. (2) 68, 260-277 (1958).
Zaidrnan, S., The Laplace-Stieltjes transform of vector-valued functions, Duke Math. J. 26, 183-188 (1959).
